Question

設(shè)函數(shù)y=cos(2x-

π

3

)-cos2x
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]時，求f（x）的最小值以及取得最小值時x的集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可確定出f（x）的得到遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域確定出f（x）的最小值，以及此時x的值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

-cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
令-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，得到-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z，
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
則f（x）的最小值為-

1

2

，此時x的集合為{0}．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．