Question

（本小題滿分12分）
設為實數，且
（1）求方程的解；
（2）若，滿足，試寫出與的等量關系（至少寫出兩個）；
（3）在（2）的基礎上，證明在這一關系中存在滿足.

Answer 1

（1）；（2），；
（3）方程存在的根.

試題分析：（1）由得，所以
（2）結合函數圖像，由可判斷 ，

從而，從而
又，
因為，所以
從而由 
可得，
從而
（3）由 
得
令，
因為，根據零點存在性定理可知，
函數在內一定存在零點，
即方程存在的根.
點評：典型題，對數函數是重要函數之一，因此，對對數函數的圖象和性質的考查較為多見。本題將對數函數與函數零點問題結合在一起進行考查，體現了考查到靈活性。（2）小題是一道開放性題目，頗具新意。