Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A、B是長軸的左、右端點，動點M滿足MB⊥AB，聯結AM，交橢圓于點P．
（1）當a=2，b=

2

時，設M（2，2），求

OP

•

OM

的值；
（2）若

OP

•

OM

為常數，探究a、b滿足的條件？并說明理由；
（3）直接寫出

OP

•

OM

為常數的一個不同于（2）結論類型的幾何條件．

Answer 1

分析：（1）利用點斜式可得AM的方程，與橢圓的方程聯立可得點P，利用數量積可得

OP

•

OM

；
（2）設P（x₀，y₀），M（a，t）（t≠0），利用A、P、M三點共線，可得

y0

x0+a

=

t

2a

，即t=

2ay0

x0+a

．利用

x02

a2

+

y02

b2

=1，可得y02=

b2(a-x0)(a+x0)

a2

．于是

OP

•

OM

=2b2+

a2-2b2

a

x0．令a²-2b²=0即可．
（3）利用（2）中的：a²=2b²即可給出：“設F₁為橢圓的焦點，C為短軸的頂點，當△COF₁為等腰三角形時，

OP

•

OM

為常數2b²或a²．”或給出“當PB⊥OM時，

OP

•

OM

為常數2b²或a²．”

解答：解 （1）直線AM：y=

1

2

(x+2)，
與橢圓的方程聯立

y= 1 2 (x+2) x2 4 + y2 2 =1

，解得P(

2

3

，

4

3

)．
∴

OP

•

OM

=(

2

3

，

4

3

)•(2，2)=4．     
（2）設P（x₀，y₀），M（a，t）（t≠0），
∵A、P、M三點共線，于是

y0

x0+a

=

t

2a

，即t=

2ay0

x0+a

．   
又

x02

a2

+

y02

b2

=1，即y02=

b2(a-x0)(a+x0)

a2

．        
∴

OP

•

OM

=ax0+ty0=ax0+

2ay02

x0+a

=ax0+

2b2(a-x0)

a

=2b2+

a2-2b2

a

x0．
∴當a²-2b²=0時，

OP

•

OM

為常數2b²． 
（3）給出“設F₁為橢圓的焦點，C為短軸的頂點，當△COF₁為等腰三角形時，

OP

•

OM

為常數2b²或a²．”
或給出“當PB⊥OM時，

OP

•

OM

為常數2b²或a²．”

點評：本題考查了直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立、數量積運算、三點共線問題與直線斜率的關系、探究性問題等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．