Question

給出下列結論：
①與圓x²+y²=1及圓x²+y²-8x+12=0都外切的圓的圓心在一個橢圓上．
②若直線y=kx-1與雙曲線x²-y²=4右支有兩個公共點，則k∈(1，

5

2

)．
③經過橢圓

x2

2

+y2=1的右焦點F作傾斜角為60⁰的直線l交橢圓于A，B兩點，且|AF|＞|BF|，則

AF

=

9+3 2

7

FB

．
④拋物線y²=2x上的點P到直線y=x+4的距離的最小值為

7 2

4

．
其中正確結論的序號是______．

Answer 1

對于①，設動圓的圓心為P，半徑為r，而圓x²+y²=1的圓心為O（0，0），半徑為1；
圓x²+y²-8x+12=0的圓心為F（4，0），半徑為2．
依題意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，則|PF|-|PO|=（2+r）-（1+r）=1＜|FO|，∴點P的軌跡是雙曲線的一支．命題①錯誤；
對于②，設直線y=kx-1與雙曲線x²-y²=4右支有兩個公共點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
直線y=kx-1與雙曲線x²-y²=4兩式聯立得：（1-k²）x²+2kx-5=0．
∵有兩個相異的交點，且在右支上，
故

1-k2≠0 △=4k2+20(1-k2)＞0 x1+x2= 2k k2-1 ＞0 x1x2= 5 k2-1 ＞0

，解得1＜k＜

5

2

．命題②正確；
對于③，∵橢圓

x2

2

+y2=1的右焦點F為（1，0），
∴經過橢圓

x2

2

+y2=1的右焦點F且傾斜角為60⁰的直線l的方程為y=

3

（x-1），
聯立

y= 3 (x-1) x2 2 +y2=1

，得7x²-12x+4=0．
設A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
則x3=

6-2 2

7

，x4=

6+2 2

7

．
∵1-x3=1-

6-2 2

7

=

1+2 2

7

，x4-1=

6+2 2

7

-1=

2 2 -1

7

，

1+2 2

7

≠

9+3 2

7

×

2 2 -1

7

．命題③錯誤；
對于④，設與直線y=x+4平行的直線方程為y=x+m，
聯立

y=x+m y2=2x

，得y²-2y+2m=0．
由△=（-2）²-8m=0，得m=

1

2

．
∴與直線y=x+4平行且與拋物線y²=2x相切的直線方程為x-y+

1

2

=0．
由兩平行線間的距離公式得：拋物線y²=2x上的點P到直線y=x+4的距離的最小值為

|4- 1 2 |

2

=

7 2

4

．
∴命題④正確．
∴正確結論的序號是②④．
故答案為：②④．