Question

【題目】已知函數(shù)f(x)是正比例函數(shù)，函數(shù)g(x)是反比例函數(shù)，且f(1)＝1，g(1)＝2.

(1)求函數(shù)f(x)和g(x)；

(2)判斷函數(shù)f(x)＋g(x)的奇偶性；

(3)求函數(shù)f(x)＋g(x)在(0，]上的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）函數(shù)f(x)＋g(x)是奇函數(shù)；（3）

【解析】本試題主要是考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的解析式以及函數(shù)的最值的綜合運(yùn)用。

（1）設(shè)f(x)＝k1x，g(x)＝，其中k1k2≠0然后結(jié)合已知中點(diǎn)的坐標(biāo)的，餓到結(jié)論。

（2）設(shè)h(x)＝f(x)＋g(x)，則h(x)＝x＋，

∴函數(shù)h(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

∵h(yuǎn)(－x)＝－x＋＝－(x＋)＝－h(x)得到證明。

（3）由(2)知h(x)＝x＋，設(shè)x1，x2是(0，]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，，然后運(yùn)用定義法得到單調(diào)性，確定最值。

解：(1)設(shè)f(x)＝k1x，g(x)＝，其中k1k2≠0.

∵f(1)＝1，g(1)＝2，∴k1×1＝1，＝2.

∴k1＝1，k2＝2.∴f(x)＝x，g(x)＝.

(2)設(shè)h(x)＝f(x)＋g(x)，則h(x)＝x＋，

∴函數(shù)h(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

∵h(yuǎn)(－x)＝－x＋＝－(x＋)＝－h(x)，

∴函數(shù)h(x)是奇函數(shù)，即函數(shù)f(x)＋g(x)是奇函數(shù)．

(3)由(2)知h(x)＝x＋，設(shè)x1，x2是(0，]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，

則h(x1)－h(x2)＝(x1＋)－(x2＋)＝(x1－x2)＋(－)

＝(x1－x2)(1－)＝，

∵x1，x2∈(0，]，且x1<x2，∴x1－x2<0,0<x1x2<2.

∴x1x2－2<0，(x1－x2)(x1x2－2)>0.

∴h(x1)>h(x2)．

∴函數(shù)h(x)在(0，]上是減函數(shù)，函數(shù)h(x)在(0，]上的最小值是h()＝2.

即函數(shù)f(x)＋g(x)在(0，]上的最小值是2.