Question

【題目】已知函數在點處的切線方程為．

（1）求，；

（2）函數圖像與軸負半軸的交點為，且在點處的切線方程為，函數，，求的最小值；

（3）關于的方程有兩個實數根，，且，證明：．

Answer 1

【答案】（1），；（2）0；（3）證明見解析

【解析】

（1）由已知可得，，求出，可得的方程組，求解即可；

（2）先求出的負根，進而求出切線方程，求出函數，進而求出單調區間，即可得出結論；

（3）根據（2）可得的圖像在的上方，同理可證出的圖像也在以的另一零點為切點的切線上方，求出與兩切線交點的橫坐標為，則有，即可證明結論.

（1）將代入切線方程中，

得，所以，

又或，

又，

所以，

若，則（舍去）；

所以，則；

（2）由（1）可知，，

所以，

令，有或，

故曲線與軸負半軸的唯一交點為

曲線在點處的切線方程為，

則，

因為，

所以，

所以，．

若，，

若，，，

所以.

若，，

，

，所以在上單調遞增，

，函數在上單調遞增．

當時，取得極小值，也是最小值，

所以最小值．

（3），設的根為，

則，又單調遞減，

由（2）知恒成立．

又，所以，

設曲線在點處的切線方程為，則，

令，

．

當時，，

當時，，

故函數在上單調遞增，又，

所以當時，，當時，，

所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以，即，

設的根為，則，

又函數單調遞增，故，故．

又，所以．