Question

設函數f(x)=a·(b+c),其中向量a=(sinx,-cosx),b=(sinx,-3cosx),c=(-cosx,sinx),x∈R.

(1)求函數f(x)的最大值和最小正周期;

(2)將函數y=f(x)的圖象按向量d平移,使平移后得到的圖象關于坐標原點成中心對稱,求長度最小的d.

Answer 1

解析:(1)由題意得f(x)=a·(b+c)

=(sinx,-cosx)·(sinx-cosx,sinx-3cosx)

=sin²x-2sinxcosx+3cos²x

=2+cosx-sin2x

=2+2sin(2x+).

故f(x)的最大值為2+,最小正周期為=π.

(2)由sin(2x+)=0,得2x+=kπ,即x=-,k∈Z.

于是d=(-,-2),

|d|=,k∈Z.

因為k為整數,要使|d|最小,則只有k=1,此時d=(-,-2)即為所求.