Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別是棱AA₁，BB₁的中點．
（1）求證：平面A₁BC₁∥平面ACD₁；
（2）求異面直線A₁F與D₁E所成的角的余弦值．

Answer 1

證明：（1）如圖，
連結AC，AD₁，CD₁，A₁C₁，A₁B，C₁B．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，∴AA₁∥CC₁，AA₁=CC₁，
∴四邊形AA₁C₁C為平行四邊形，∴A₁C₁∥AC．
A₁C₁?平面ACD₁，AC?平面ACD₁，∴A₁C₁∥平面ACD₁；
∵A₁D₁∥BC，A₁D₁=BC，∴四邊形A₁BCD₁為平行四邊形，∴A₁B∥CD₁．
A₁B?平面ACD₁，CD₁?平面ACD₁，∴A₁B∥?平面ACD₁，
又A₁B∩A₁C₁=A₁，
∴平面A₁BC₁∥平面ACD₁；
（2）連結C₁F，∵E，F分別是棱AA₁，BB₁的中點，∴EF∥C₁D₁，EF=C₁D₁
∴EFC₁D₁是平行四邊形，∴D₁F∥C₁E．
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，解直角三角形求得A1C1=2

2

，A1F=C1F=

5

．
在△A₁C₁F中，由余弦定理得cos∠A1FC1=

A1F2+C1F2-A1C12

2A1F•C1F

=

( 5 )2+( 5 )2-(2 2 )2

2× 5 × 5

=

1

5

．
∴異面直線A₁F與D₁E所成的角的余弦值是

1

5

．