Question

已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是∠A=60°、邊長為a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，點M、N分別是棱AD、PC的中點．
（1）證明：DN∥平面PMB；
（2）證明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求點A到平面PMB的距離．

Answer 1

（1）證明：取PB中點Q，連接MQ、NQ，
因為M、N分別是棱AD、PC中點，
所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．

DN∥MQ MQ⊆平面PMB DN?平面PMB

⇒DN∥平面PMB．

（2）

PD⊥平面ABCD MB⊆平面ABCD

⇒PD⊥MB
又因為底面ABCD是∠A=60°、邊長為a的菱形，且M為AD中點，
所以MB⊥AD．
又AD∩PD=D，
所以MB⊥平面PAD.

MB⊥平面PAD MB⊆平面PMB

⇒平面PMB⊥平面PAD．

（3）因為M是AD中點，所以點A與D到平面PMB等距離．
過點D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．
故DH是點D到平面PMB的距離.DH=

a 2 ×a

5 2 a

=

5

5

a．
∴點A到平面PMB的距離為

5

5

a．