Question

【題目】若定義域為R的偶函數y=f（x）滿足f（x+2）+f（x）=0，且當x∈[0，2]時，f（x）=2﹣x2 ， 則方程f（x）=2sinx在[﹣3π，3π]內根的個數是 ．

Answer 1

【答案】5
【解析】解：定義域為R的偶函數y=f（x）滿足f（x+2）+f（x）=0，即足f（x+2）=﹣f（x）， ∴f（x+4）=f（x），故f（x）的周期為4．
且當x∈[0，2]時，f（x）=2﹣x2 ， 則當x∈[﹣2，2]時，f（x）=2﹣x2 ．
再畫出y=f（x）以及y=2sinx在[﹣3π，3π]內的圖象，如圖所示：
數形結合可得函數y=f（x）的圖象和函數y=2sinx在[﹣3π，3π]內的圖象的交點個數為5個，
則方程f（x）=2sinx在[﹣3π，3π]內根的個數是5，
故答案為：5．

先求得偶函數f（x）的周期為4，根據當x∈[0，2]時，f（x）=2﹣x2 ， 再畫出y=f（x）以及y=2sinx在[﹣3π，3π]內的圖象，數形結合可得結論．