Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=loga（1﹣x）﹣loga（1+x）（a＞0，且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）求滿(mǎn)足不等式f（x）＜0的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：解 得，﹣1＜x＜1；

∴f（x）的定義域?yàn)椋ī?，1）

（2）解：f（﹣x）=loga（1+x）﹣loga（1﹣x）=﹣f（x）；

∴f（x）為奇函數(shù)

（3）解：由f（x）＜0得，loga（1﹣x）＜loga（1+x）；

①若a＞1，則：

；

∴0＜x＜1；

即f（x）＜0的x的取值范圍為（0，1）；

②若0＜a＜1，則：

；

∴﹣1＜x＜0；

即f（x）＜0的x的取值范圍為（﹣1，0）

【解析】（1）只需解不等式組 即可得出f（x）的定義域；（2）求f（﹣x）即可得到f（﹣x）=﹣f（x），從而得出f（x）為奇函數(shù)；（3）討論a：a＞1，和0＜a＜1，根據(jù)f（x）的定義域及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得每種情況下原不等式的解．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上有相反的單調(diào)性才能正確解答此題．