Question

（2012•朝陽區一模）已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．當0≤x≤1時，f（x）=x²．若直線y=x+a與函數y=f（x）的圖象在[0，2]內恰有兩個不同的公共點，則實數a的值是（　　）

• A．0
• B．0或-

  1

  2

• C．-

  1

  4

  或-

  1

  2

• D．0或-

  1

  4

Answer 1

分析：先作出函數f（x）在[0，2]上的圖象，再分類討論，通過數形結合與方程思想的應用即可解決問題．

解答：解：∵f（x）是定義在R上的偶函數，當0≤x≤1時，f（x）=x²，
∴當-1≤x≤0時，0≤-x≤1，f（-x）=（-x）²=x²=f（x），
又f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期為2的函數，
又直線y=x+a與函數y=f（x）的圖象在[0，2]內恰有兩個不同的公共點，其圖象如下：

當a=0時，直線y=x+a變為直線l₁，其方程為：y=x，顯然，l₁與函數y=f（x）的圖象在[0，2]內恰有兩個不同的公共點；
當a≠0時，直線y=x+a與函數y=f（x）的圖象在[0，2]內恰有兩個不同的公共點，由圖可知，直線y=x+a與函數y=f（x）相切，切點的橫坐標x₀∈[0，1]．
由

y=x+a y=x2

得：x²-x-a=0，由△=1+4a=0得a=-

1

4

，此時，x₀=x=

1

2

∈[0，1]．
綜上所述，a=-

1

4

或0
故選D．

點評：本題考查函數的周期性，函數的奇偶性與求方程的解，考查數形結合思想與方程思想的應用，屬于中檔題．