Question

給出下列四個命題：
①函數y=3^x+3^-x（x＜0）的最小值為2；
②在數列{a_n}中，a₁=1，S_n是前n項和，且滿足S_n+1=

1

2

S_n+2，則數列{a_n}是等比數列；
③若f（x+2）+

1

f(x)

=0，則函數y=f（x）是以4為周期的周期函數；
④若函數f（x）=x³+ax²+2的圖象關于點（1，0）對稱，則a的值為-3，
則正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①利用基本不等式的性質即可判斷出；
②在數列{a_n}中，a₁=1，S_n是前n項和，且滿足S_n+1=

1

2

S_n+2，則當n≥2時，Sn=

1

2

Sn-1+2，可得an+1=

1

2

an，當n=1時，解得a₂=

3

2

，

a2

a1

=

3

2

≠

1

2

，即可判斷出；
③判斷f（x+4）=f（x）是否成立即可；
④令f^″（x）=6x+2a=0，函數f（x）的圖象關于點（1，0）對稱，解出a即可．

解答： 解：①函數y=3^x+3^-x≥2

3x•3-x

，當且僅當x=0時取等號，而x＜0，因此等號不成立，不正確；
②在數列{a_n}中，a₁=1，S_n是前n項和，且滿足S_n+1=

1

2

S_n+2，則當n≥2時，Sn=

1

2

Sn-1+2，∴an+1=

1

2

an，當n=1時，a₁+a₂=

1

2

a1+2，解得a₂=

3

2

，

a2

a1

=

3

2

≠

1

2

，因此數列{a_n}不是等比數列，不正確；
③若f（x+2）+

1

f(x)

=0，則函數f（x+4）=-

1

f(x+2)

=f（x），∴y=f（x）是以4為周期的周期函數，正確；
④若函數f（x）=x³+ax²+2，f′（x）=3x²+2ax，f^″（x）=6x+2a=0，∵函數f（x）的圖象關于點（1，0）對稱，則6+2a=0，解得a=-3，正確．
則正確命題的序號是③④．
故答案為：③④．

點評：本題綜合考查了基本不等式的性質、等比數列的定義及其遞推式的應用、函數的周期性、三次函數的中心對稱性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．