Question

（2012•香洲區模擬）定義函數fn(x)=(1+x)n-1，x＞-2，n∈N
（1）求f₃（x）的極值點；
（1）求證：f_n（x）≥nx；
（2）是否存在區間[a，0]（a＜0），使函數h（x）=f₃（x）-f₂（x）在區間[a，0]上的值域為[k-a，0]？若存在，求出最小的k值及相應的區間[a，0]，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由函數f3(x)=(1+x)3-1，知f3′(x)=3(1+x)2，由此能求出f₃（x）的極值點．
（2）f_n（x）-nx=（1+x）ⁿ-1-nx，令g（x）=（1+x）ⁿ-1-nx，則g′（x）=n[（1+x）^n-1-1]．由此利用導數性質能夠證明f_n（x）≥nx．
（3）由h（x）=f₃（x）-f₂（x）=x（1+x）²，知h′（x）=（1+x）²+2x（1+x）=（1+x）（1+3x），令h′（x）=0，得x=-1，x=-

1

3

．由此利用分類討論思想能求出知k的最小值及本應的[a，0]．

解答：解：（1）∵函數fn(x)=(1+x)n-1，x＞-2，n∈N，
∴f3(x)=(1+x)3-1，
∴f3′(x)=3(1+x)2，
令f3′(x)=0 ，得x=-1，
∵定義域（-2，+∞），∴列表討論，得：

x	（-2，-1）	-1	（-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	遞減	極小值	遞增

∴x=-1為極小值點，無極大值點．…（3分）
（2）證明：f_n（x）-nx=（1+x）ⁿ-1-nx，
令g（x）=（1+x）ⁿ-1-nx，
則g′（x）=n[（1+x）^n-1-1]．
令g′（x）=0，得x=0．…（5分）
當x∈（-2，-1）時，-1＜1+x＜0，n為奇數時，（1+x）ⁿ＜1；
當x∈[-1，0）時，0≤+x＜1，0＜（1+x）ⁿ＜1，
∴x∈（-2，0）時，（1+x）ⁿ＜1，故g′（x）=n[（1+x）^n-1-1]＜0，
函數g（x）單調遞減；
而x∈（0，+∞），（1+x）ⁿ＞1，故g′（x）=n[（1+x）^n-1-1]＞0，
函數g（x）單調遞增；
∴g（x）在x=0處取得最小值g（0）=0．
∴g（x）≥0，即f_n（x）≥nx．（當且僅當x=0時取等號）．…10
（3）h（x）=f₃（x）-f₂（x）=x（1+x）²，

h′（x）=（1+x）²+2x（1+x）=（1+x）（1+3x），
令h′（x）=0，得x=-1，x=-

1

3

．
∴當x∈（-2，-1）時，h′（x）＞0；
當x∈（-1，-

1

3

）時，h′（x）＜0；
當x∈（-

1

3

，+∞）時，h′（x）＞0．故h（x）的草圖如圖所示．
在-

1

3

≤a＜0時，h（x）_min=h（a）=ka，∴k=（1+a）²≥

4

9

．
②在-

4

3

≤a≤-

1

3

時，h（x）_min=h（-

1

3

）=-

4

27

=ka，y=-

4

27a

，

1

9

≤k≤

4

9

，
③在a≤-

4

3

時，h（x）_min=h（a）=a（1+a）²=ka．
∴k=（1+a）²≥

1

9

，a=-

4

3

時取等號．
綜上討論可知k的最小值為

1

9

，此時[a，0]=[-

4

3

，0]．…（14分）

點評：本題考查函數的極值點的求法，考查不等式的證明，考查最小值的求法．綜合性強，難度大，具有一定的探索性，對數學思維的要求較高．解題時要認真審題，注意構造法的合理運用．