Question

【題目】(2015·新課標I卷）已知函數f（x）=x3+ax+, g(x)=-lnx.
（1）當a為何值時，x軸為曲線y=f(x)的切線；
（2）用min{m,n} 表示m,n中的最小值，設函數h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),，討論h（x）零點的個數.

Answer 1

【答案】
（1）

a=-

（2）

當a>-或a<-時，h（x）由一個零點；當a=-或a=-時，h（x）有兩個零點；當-<a<-時，h（x）有三個零點.

【解析】（Ⅰ）設曲線y=f(x)與x軸相切于點(x0, 0)，則f(x0)=0，f'(x0)=0，即，解得x0=,a=-.
因此，當a=-時，x軸是曲線y=f(x)的切線.
(II)當x,g(x)=-lnx<0, 從而h（x）=min{f(x),g(x)}g(x)<0, ∴h(x)在無零點。當x=1時，若a,則f(1)=a+<0, h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)<0, 故x=1不是h(x)的零點。
當x(0,1)時，g(x)=-lnx>0, 所以只需考慮f(x)在（0,1）的零點個數。
（i)若a-3或a0, 則f'（x)=3x2+a在（0,1）無零點，故f(x)在（0,1）單調，而f(0)=,f(1)=a+, 所以當a-3時，f(x)在（0,1）有一個零點，當a0時，f(x)在（0,1）無零點，
（ii) 若-3<a<0, 則f(x)在（0，)單調遞減，在（，1）單調遞增，故當x=時，f(x)取得最小值，最小值為f()=+.
1. 若f()>0, 即-<a<0, f(x)在（0,1）無零點。
2， 若f()=0, 即a=- f(x)在（0,1）有唯一零點。
3， 若f()<0, 即-3<a<-,由于f(0)=,f(1)=a+,所以當-<a<-時，f(x)在（0,1）有兩個零點；當-3<a-時，f(x)在（0,1）有一個零點。
綜上，當a>-或a<-時，h(x)由一個零點，當a=-或a=-時，h(x)有兩個零點，當-<a<-時，h(x)有三個零點。