Question

關于函數f(x)=sin(2x-

π

4

)，有下列命題：
①其表達式也可寫成f(x)=cos(2x+

π

4

)；
②直線x=-

π

8

是f（x）圖象的一條對稱軸；
③函數f（x）的圖象可以由函數g（x）=sin2x的圖象向右平移

π

4

個單位得到；
④存在α∈（0，π），使f（x+α）=f（x+3α）恒成立，
則其中真命題為

②④

．

Answer 1

分析：分別根據三角函數的圖象和性質進行判斷即可．

解答：解：①函數f(x)=sin(2x-

π

4

)=cos（

π

2

-2x+

π

4

）=cos（

3π

4

-2x）=cos（2x-

3π

4

），∴①錯誤．
②當x=-

π

8

時，f(-

π

8

)=sin?[2×(-

π

8

)-

π

4

]=sin?(-

π

2

)=-1，為函數的最小值，
∴直線x=-

π

8

是f（x）圖象的一條對稱軸，∴②正確．
③函數g（x）=sin2x的圖象向右平移

π

4

個單位得到g（x-

π

4

）=sin2（x-

π

4

）=sin（2x-

π

2

），∴③錯誤．
④由f（x+α）=f（x+3α）得sin[2(x+α)-

π

4

]=sin[2(x+3α)-

π

4

]，
即sin(2x+2α-

π

4

)=sin(2x+6α-

π

4

)，
∴當2α-

π

4

=π-(6α-

π

4

)，解得α=

3π

16

，滿足條件條件，∴④正確．
故答案為：②④．

點評：本題主要考查三角函數函數的圖象和性質，利用三角函數的誘導公式和三角關系式是解決本題的關鍵．