Question

【題目】某高中學校在2015年的一次體能測試中，規定所有男生必須依次參加50米跑、立定跳遠和一分鐘的引體向上三項測試，只有三項測試全部達標才算合格，已知男生甲的50米跑和立定跳遠的測試與男生乙的50米跑測試已達標，男生甲還需要參加一分鐘的引體向上測試，男生乙還需要參加立定跳遠和一分鐘引體向上兩項測試，若甲參加一分鐘引體向上測試達標的概率為p，乙參加立定跳遠和一分鐘引體向上的測試達標的概率均為 ，甲乙每一項測試是否達標互不影響，已知甲和乙同時合格的概率為 ．
（1）求p的值，并計算甲和乙恰有一人合格的概率；
（2）在三項測試項目中，設甲達標的測試項目項數為x，乙達標的測試項目項數為y，記ξ=x+y，求隨機變量ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：設事件A1=“甲引體向上測試達標”，B1=“乙立定跳遠測試達標”，

B2=“乙引體向上測試達標”，則P（A1）=p，P（B1）=P（B2）= ，

∵甲乙每一項測試是否達標互不影響，甲和乙同時合格的概率為 ，

∴p×（ ）2= ，解得p= ，

設事件A=“甲測試合格”，B=“乙測試合格”，

則P（A）= ，P（B）=P（B1B2）=（ ）2= ，

∴甲和乙恰有一人合格的概率：

p=P（A ）+P（ B）= + = ．

（2）解：由已知得隨機變量x的取值為2，3，隨機變量y的取值為1，2，3，

∴ξ的可能取值為3，4，5，6，

P（ξ=3）= = ，

P（ξ=4）= = ，

P（ξ=5）= = ，

P（ξ=6）= = ，

∴隨機變量ξ的分布列為：

ξ	3	4	5	6
P

∴E（ξ）= = ．

【解析】（1）設事件A1=“甲引體向上測試達標”，B1=“乙立定跳遠測試達標”，B2=“乙引體向上測試達標”，則P（A1）=p，P（B1）=P（B2）= ，由此利用題設條件求出p= ，設事件A=“甲測試合格”，B=“乙測試合格”，則P（A）= ，P（B）=P（B1B2）= ，由此能求出甲和乙恰有一人合格的概率．（2）由已知得隨機變量x的取值為2，3，隨機變量y的取值為1，2，3，ξ的可能取值為3，4，5，6，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量ξ的分布列和E（ξ）．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解離散型隨機變量及其分布列的相關知識，掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．