Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左頂點為，離心率為，過點的直線與橢圓交于另一點，點為軸上的一點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若是以點為直角頂點的等腰直角三角形，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（1）根據條件列關于a,b,c方程組，解得a,b（2）先設直線方程（點斜式），與橢圓方程聯立解得B點坐標，由AC與BC垂直，以及AC=BC解出C點縱坐標，得關于k的二次方程，即得直線方程

試題解析：（1）由題意可得： ，即，

從而有，

所以橢圓的標準方程為：．

（2）設直線的方程為，代入，

得，

因為為該方程的一個根，解得，

設,由,得：，

即：

由,即，得，

即，

即，

所以或，

當時，直線的方程為，

當時，代入得，解得，

此時直線的方程為.

綜上,直線的方程為，.