Question

【題目】已知圓．

(1)若直線過點且被圓截得的弦長為2，求直線的方程；

(2)從圓外一點向圓引一條切線，切點為為坐標原點，滿足，求點的軌跡方程及的最小值．

Answer 1

【答案】（1）x＝－2或3x－4y＋6＝0（2）2x－4y＋3＝0，

【解析】

（1）⊙C：x2+y2+2x﹣4y+3=0，化為標準方程，求出圓心C，半徑r．分類討論，利用C到l的距離為1，即可求直線l的方程；

（2）設P（x，y）．由切線的性質可得：CM⊥PM，利用|PM|=|PO|，可得3x+4y﹣12=0，求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原點O到直線2x﹣4y+3=0的距離．

解：(1) (1)x2＋y2＋2x－4y＋3＝0可化為(x＋1)2＋(y－2)2＝2，

當直線l的斜率不存在時，其方程為x＝－2，

易求直線l與圓C的交點為A(－2，1)，B(－2，3)，|AB|＝2，符合題意；

當直線l的斜率存在時，設其方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，

則圓心C到直線l的距離，

解得，

所以直線l的方程為3x－4y＋6＝0

綜上，直線l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0

(2) 如圖，PM為圓C的切線，連接MC，PC，則CM⊥PM，

所以△PMC為直角三角形，

所以|PM|2＝|PC|2－|MC|2

設P(x，y)，由(1)知C(－1，2)，|MC|＝，

因為|PM|＝|PO|，所以(x＋1)2＋(y－2)2－2＝x2＋y2，

化簡得點P的軌跡方程為2x－4y＋3＝0

求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，也即求原點O到直線2x－4y＋3＝0的距離，

代入點到直線的距離公式可求得|PM|的最小值為.