Question

【題目】已知過點的橢圓的左右焦點分別為， 為橢圓上的任意一點，且成等差數列.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）直線交橢圓于兩點，若點始終在以為直徑的圓外，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】試題分析：（1）由題意，利用等差數列和橢圓的定義求出的關系，再根據橢圓過點，求出的值，即可寫出橢圓的標準方程；

（2）設，根據題意知，聯立方程組，由方程的根與系數的關系求解，再由點在以為直徑的圓外，得為銳角， ，由此列出不等式求出的取值范圍.

試題解析：

（1）∵成等差數列，∴ ，

由橢圓定義得，∴；又橢圓過點，

∴；∴，解得， ；

∴橢圓的標準方程為；

（2）設， ，聯立方程，消去得：

；

依題意直線恒過點，此點為橢圓的左頂點，∴， ，①

由方程的根與系數關系可得， ；②

可得 ；③

由①②③，解得， ；

由點在以為直徑的圓外，得為銳角，即；

由， ，

∴；即，

整理得， ，解得： 或.

∴實數的取值范圍是或.