Question

已知向量

OP

=(2sin

x

2

，-1)，

OQ

=(cosx+f(x)，sin(

π

2

-

x

2

))，且

OP

∥

OQ

．
（1）求函數f（x）的表達式，并指出f（x）的單調遞減區間；
（2）在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且f(A)=-

2

，bc=8，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐標運算可求得f（x）的表達式，再利用正弦函數的單調性即可求得f（x）的單調遞減區間；
（2）由（1）知f（x）=-

2

sin（x+

π

4

），結合f（A）=-

2

可求得A，從而可求得△ABC的面積S．

解答：解：（1）依題意知，2sin

x

2

sin（

π

2

-

x

2

）-[cosx+f（x）]×（-1）=0，
整理得：f（x）=-（sinx+cosx）
=-

2

sin（x+

π

4

）；
由2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z得：
2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

，k∈Z
∴f（x）的單調遞減區間為[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]，k∈Z．
（2）∵f（A）=-

2

sin（A+

π

4

）=-

2

，
∴sin（A+

π

4

）=1，而△ABC為銳角三角形，
∴A=

π

4

．
又bc=8，
∴△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

1

2

×8×sin

π

4

=2

2

．

點評：本題考查平面向量數量積的坐標運算，考查解三角形，求得f（x）的表達式是關鍵，屬于中檔題．