Question

長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的側(cè)棱AA₁=a，底面ABCD的邊長AB=2a，BC=a，E為C₁D₁的中點；
（1）求證：DE⊥平面BCE；
（2）求二面角E-BD-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）因為AA₁=a，AB=2a，BC=a，E為C₁D₁的中點；所以DE⊥CE，結(jié)合線段的長度關(guān)系可得DE⊥EB，進而證明線面垂直．
（2）取DC的中點F，則EF⊥平面BCD，作FH⊥BD于H，連EH，則∠EHF就是二面角E-BD-C的平面角，然后把二面角放入三角形中利用解三角形的有關(guān)知識解決問題．

解答：解：（1）∵AA₁=a，AB=2a，BC=a，E為C₁D₁的中點；
∴DE=CE=

2

a，?DE⊥CE，
又∵DB=

5

a，EB=

3

a，
∴DE⊥EB，
又因為CE∩EB=E
所以DE⊥平面BCE
（2）取DC的中點F，則EF⊥平面BCD，作FH⊥BD于H，連EH，
則∠EHF就是二面角E-BD-C的平面角，
由題意得EF=a，
在Rt△DFH中，HF=

5

5

a
所以tan∠EHF=

5

．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征與幾何體的線段長度關(guān)系，進而解決線面平行與垂直問題，以及空間角與空間距離等問題．