Question

已知常數數列的前項和為，且
（1）求證：數列為等差數列；
（2）若且數列是單調遞增數列，求實數的取值范圍；
（3）若數列滿足：對于任意給定的正整數，是否存在使若存在，求的值（只要寫出一組即可）；若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）∵∴，，   ┄┄┄2分
∴
化簡得：（常數），
∴數列是以1為首項，公差為的等差數列；              ┄┄┄4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又∵，，
∴，∴
①當是奇數時，∵，∴，
令，∴
∵
∴，且，∴； ┄7分
②當是偶數時，∵，∴，
令，∴
∵
∴，且，∴；
綜上可得：實數的取值范圍是．                          ┄10分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，又∵，
設對任意正整數k，都存在正整數，使，
∴，∴         ┄┄┄12分
令，則（或）
∴（或）                       ┄16分

略