Question

一束光線通過(guò)點(diǎn)M（25，18）射到x軸上，入射點(diǎn)為A，經(jīng)反射后射到圓C：x²+（y-7）²=25上．
（Ⅰ）求經(jīng)過(guò)圓心的反射光線所在直線的方程；　
（Ⅱ）求點(diǎn)A在x軸上的活動(dòng)范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）點(diǎn)M（25，18）射到x軸上，關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M′（25，-18）
所以反射光線過(guò)M′（25，-18），圓心（0，7）
所以直線為
即y=-x+7；
（Ⅱ）A的取值范圍是反射后射到圓C：x²+（y-7）²=25上，臨界狀態(tài)時(shí)的取值范圍．
因?yàn)閤軸的對(duì)稱點(diǎn)M′（25，-18）
所以設(shè)直線y=k（x-25）-18，即kx-y-25k-18=0
利用圓心到直線的距離等于半徑可得：
∴12k²+25k+12=0
∴
所以對(duì)應(yīng)的方程分別為：3x+4y-3=0，4x+3y-46=0
此時(shí)令A(yù)（x，0）
所以x分別為1，11.5
所以A的活動(dòng)范圍[1，11.5]．
分析：（Ⅰ）求出點(diǎn)M（25，18）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M′，利用反射光線過(guò)M′與圓心，即可求得直線方程；
（Ⅱ）A的取值范圍是反射后射到圓C：x²+（y-7）²=25上，臨界狀態(tài)時(shí)的取值范圍．利用圓心到直線的距離等于半徑，從而可求得臨界狀態(tài)時(shí)反射光線的方程，進(jìn)而可求A的活動(dòng)范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，考查直線方程，考查對(duì)稱性，解題的關(guān)鍵是A的取值范圍是反射后射到圓C：x²+（y-7）²=25上，臨界狀態(tài)時(shí)的取值范圍