Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分別是AC，PB的中點．
（Ⅰ）證明：EF∥平面PCD；
（Ⅱ）若PA=AB，求EF與平面PAC所成角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）證明：如圖，連接BD，則E是BD的中點．
又F是PB的中點，
所以EF∥PD．
因為EF不在平面PCD內，
所以EF∥平面PCD．（6分）
（Ⅱ）連接PE．
因為ABCD是正方形，
所以BD⊥AC．
又PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BD．
因此BD⊥平面PAC．
故∠EPD是PD與平面PAC所成的角．
因為EF∥PD，
所以EF與平面PAC所成的角的大小等于∠EPD．
因為PA=AB=AD，∠PAD=∠BAD=90°，
所以Rt△PAD≌Rt△BAD．
因此PD=BD．
在Rt△PED中，
sin∠EPD=

ED

PD

=

1

2

，
∠EPD=30°．
所以EF與平面PAC所成角的大小是30°．（14分）