Question

如圖，在矩形ABCD中，已知AB=2AD=4，E為AB的中點，現將△AED沿DE折起，使點A到點P處，滿足PB=PC，設M、H分別為PC、DE的中點．
（1）求證：BM∥平面PDE；
（2）線段BC上是否存在一點N，使BC⊥平面PHN？試證明你的結論；
（3）求△PBC的面積．

Answer 1

證明：（1）取PD的中點F，連接EF，FM
由條件知：FM平行且等于DC的一半，EB平行且等于DC的一半
∴FM∥EB，且FM=EB
則四邊形EFMB是平行四邊形
則BM∥EF
∵BM?平面PDE，EF?平面PDE
∴BM∥平面PDE；
（2）當N為BC的中點時，BC⊥平面PHN，理由如下：
由題意得，HN為直角梯形BCDE的中位線
∴HN⊥BC
∵PB=PC
∴PN⊥BC
又∵HN∩PN=N
∴BC⊥平面PHN，
（3）由（2）中結論可得，BC⊥PH，
又∵PH⊥DE
故PH⊥底面BCDE
則PH⊥HN，即△PHN為直角三角形
∵AB=2AD=4，E為AB的中點
∴BC=2，HN=3，PH=

2

，則PN=

11

∴△PBC的面積S=

1

2

•BC•PN=

11