Question

【題目】已知函數f（x）=2x+2﹣x ． （Ⅰ）試寫出這個函數的性質（不少于3條，不必說明理由），并作出圖象；
（Ⅱ）設函數g（x）=4x+4﹣x﹣af（x），求這個函數的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）偶函數；定義域R；值域{y|y≥2}； 單調遞增區間：（0，+∞），單調遞減區間：（﹣∞，0）等
圖象如圖：．
（Ⅱ）設2x+2﹣x=t（t≥2），則4x+4﹣x=t2﹣2，設k（t）=t2﹣2﹣at=t2﹣at﹣2，
時，k（t）min=k（2）=2﹣2a；
時 ．
所以， 時，g（x）min=2﹣2a；
時 ．

【解析】（Ⅰ）列出函數的偶函數；定義域R；值域；單調遞增區間，單調遞減區間，選擇3項即可，畫出圖象．（Ⅱ）設2x+2﹣x=t（t≥2），則4x+4﹣x=t2﹣2，設k（t）=t2﹣2﹣at=t2﹣at﹣2，通過a與2討論，利用二次函數的最值求解即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的最值及其幾何意義的相關知識點，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值才能正確解答此題．