Question

【題目】已知命題a2x2+ax﹣2=0在[﹣1，1]上有解；命題q：只有一個實數x滿足不等式x2+2ax+2a≤0，若命題“p”或“q”是假命題，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：由題意a≠0．
若p正確，a2x2+ax﹣2=（ax+2）（ax﹣1）=0的解為 或-
若方程在[﹣1，1]上有解，只需滿足| |≤1或|﹣ |≤1
∴a≥1或a≤﹣1
即a∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
若q正確，即只有一個實數x滿足x2+2ax+2a≤0，
則有△=4a2﹣8a=0，即a=0或2
若p或q是假命題，則p和q都是假命題，
有
所以a的取值范圍是（﹣1，0）∪（0，1）
【解析】對方程a2x2+ax﹣2=0進行因式分解是解決該題的關鍵，得出方程的根（用a表示出）．利用根在[﹣1，1]上，得出關于a的不等式，求出命題p為真的a的范圍，利用x2+2ax+2a≤0相應的二次方程的判別式等于0得出關于a的方程，求出a，再根據“p或q”是假命題得出a的范圍．
【考點精析】關于本題考查的復合命題的真假，需要了解“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復合命題的真假與F的真假相反；“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真才能得出正確答案．