Question

如圖，三棱錐中，是的中點(diǎn)，，，，，二面角的大小為．

（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）取BD中點(diǎn)M，連結(jié)MA，MB得到
又，即 
又
平面
證得，證，平面 ；
(2)直線與平面所成角的正弦值為．

試題分析：（1）取BD中點(diǎn)M，連結(jié)MA，MB            1分
所以
又，即            2分
又
即為的平面角           4分
所以
，平面
                5分
在中，，如圖②，取AM中點(diǎn)O
則知為正三角形，

即            6分
又
平面            7分
(2)解法一、向量法：
建立如圖直角坐標(biāo)系M-xyz           8分

，，， 
，，        9分
設(shè)平面的法向量為，即有       10分
得                          11分
設(shè)直線與平面所成角為
則                     13分
即直線與平面所成角的正弦值為．            14分
解法二、幾何法：提示：取AB中點(diǎn)N   
點(diǎn)評：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問題的一個(gè)基本思路。注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，將空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題。