Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在直線A₁B上．

（1）求證：平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁；
（2）若，AB=BC=2，P為AC中點，求三棱錐的體積。

Answer 1

(1)利用線線垂直證明線面垂直；(2)

試題分析：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A A₁⊥平面ABC，
∴A A₁⊥BC，
∵AD⊥平面A₁BC，
∴AD⊥BC，
∵A A₁，AD為平面ABB₁A₁內兩相交直線，
∴BC⊥平面ABB₁A₁，
又∵平面A₁BC，
∴平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁                 7分
(2) 由等積變換得，
在直角三角形中，由射影定理()知，
∵，
∴三棱錐的高為                 10分
又∵底面積               12分
∴=             14分
法二：連接，取中點，連接，∵P為AC中點， 
,,　               9分
由（1）AD⊥平面A₁BC，∴⊥平面A₁BC，
∴為三棱錐P- A₁BC的高，                  11分
由（1）BC⊥平面ABB₁A₁　，            12分
，                   14分
點評：高考中常考查空間中平行關系與垂直關系的證明以及幾何體體積的計算，這是高考的重點內容.證明的關鍵是熟練掌握并靈活運用相關的判定定理與性質定理