Question

（2009•武漢模擬）在實數范圍內，條件且p：a，b∈（0，1）a+b=1是條件q：ax²+by²≥（ax+by）²成立的（　　）

A．充分但不必要條件

B．必要但不充分條件

C．充要條件

D．既不是充分又不是必要條件

Answer 1

分析：可證明充分性成立，由于（x-y）²≥0，所以ab（x²+y²-2xy）≥0，令1-a=b，1-b=a，a，b∈（0，1），則abx²+bay²-2abxy≥0，代入可得a（1-a）x²+b（1-b）y²-2abxy≥0，從而有ax²+by²≥（ax+by）²，但其必要性由于不步步可逆，故不成立，從而得結論．

解答：解：由題意，∵（x-y）²≥0
∴ab（x²+y²-2xy）≥0
令1-a=b，1-b=a，a，b∈（0，1）
則abx²+bay²-2abxy≥0
∴a（1-a）x²+b（1-b）y²-2abxy≥0
∴（ax²-a²x²）+（by²-b²y²）-2abxy≥0
∴ax²+by²-（a²x²+2abxy+b²y²）≥0
∴ax²+by²≥（ax+by）²，
反之，∵ax²+by²≥（ax+by）²，
∴ax²+by²-（a²x²+2abxy+b²y²）≥0
∴a（1-a）x²+b（1-b）y²-2abxy≥0
 可令1-a=b，1-b=a，但不一定有a，b∈（0，1）
 故選A．

點評：本題以不等式為載體，考查四種條件，有一定的技巧，易錯點是不必要性的判斷．