Question

【題目】已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上.

(1)求橢圓的方程；

(2)若不過原點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，與直線相較于點(diǎn)，且是線段的中點(diǎn)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由橢圓的方程的離心率和橢圓上的點(diǎn)代入方程，列出方程組，求得的值，得到橢圓的方程；

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)， 的中點(diǎn)不在直線上，故直線的斜率存在.

設(shè)直線的方程為與橢圓的方程聯(lián)立，求得，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，

因?yàn)?/span>在直線上，解得，以及利用，求得實(shí)數(shù)，

把三角形的面積表達(dá)成實(shí)數(shù)的表示，即可求解面積的最大值．

試題解析：

(1) 由橢圓的離心率為,點(diǎn)在橢圓上得解得所以橢圓的方程為.

(2)易得直線的方程為.

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)， 的中點(diǎn)不在直線上，故直線的斜率存在.

設(shè)直線的方程為,與聯(lián)立消得

,

所以.

設(shè),則,.

由,所以的中點(diǎn),

因?yàn)?/span>在直線上，所以,解得

所以,得,且,

又原點(diǎn)到直線的距離,

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，符合,且.

所以面積的最大值為： .