Question

【題目】已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x>0時，.

（1）求f(x)的解析式；

（2）設x∈[1,2]時，函數，是否存在實數m使得g(x)的最小值為6，若存在，求m的取值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】

（1）設，根據計算，利用奇偶性即可求解函數解析式；

（2）通過換元，問題轉化為二次函數h (t)在[2， 4]上的最小值為6，再通過分類討論得出結論.

（1）設，則，

由當x>0時，可知，，

又f（x）為R上的奇函數，

于是，

故當時，，

當時，由知，

綜上知

（2）由（1）知，x∈[1,2]時，

，

令，，

函數g(x)的最小值為6，即在上的最小值為6，

①當，即m＞﹣5時，函數h（t）在[2，4]上為增函數，

于是h（t）min＝h（2）＝6，此時存在滿足條件的實數m＞﹣5；

②當，即﹣9≤m≤﹣5時，，解得，此時滿足條件；

③當，即m＜﹣9時，函數h（t）在[2，4]上為減函數，

于是h（t）min＝h（4）＝2m+20＝6，解得，此時不存在滿足條件的實數m；

綜上，存在使得函數g（x）的最小值為6．