Question

【題目】如圖1,在邊長為1的等邊三角形中,分別是邊上的點,,是的中點,與交于點,將沿折起,得到如圖2所示的三棱錐,其中.

（1） 證明://平面;

（2） 證明:平面;

（3） 當時,求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）。

【解析】

試題分析：（1）因為三角形ABC為等邊三角形，所以AB=AC，又AD=AE，所以，則DE//BC，折疊后圖1中，DG//BF，GE//CF，又因為，，根據面面平行的判斷定理可知，平面DGE//平面BCF，DE平面DGE，所以DE//平面BFC；（2）圖1中，F為BC中點，所以BC⊥AF，BF=FC=，又因為BC=，所以BF2+FC2=BC2，則CF⊥BF，因為AFBF=F，根據線面垂直判定定理，所以CF⊥平面ABF；（3）由圖4可知，AF⊥DE，所以圖1中，AG⊥DG，AG⊥GE，且DGGE=G，所以AG⊥平面DGE，所以F到平面DGE的距離等于線段GF的長，又因為AD=，所以，則DE=，，所以GF=AF，又因為AF=，所以GF=，因為DE//BC，所以G為DE中點，DG=GE=DE=，又因為DE//BF，GE//CF，所以DG⊥GE，所以三角形DGE的面積為，三棱錐F-DGE的體積為。

試題解析：（1）,在折疊后的三棱錐中

也成立, ,平面,

平面,平面;

（2）在等邊三角形中,是的中點,所以①,.

在三棱錐中,,②

;

（3）由（1）可知,結合（2）可得.