Question

【題目】已知函數，．

（1）判斷的單調性，并證明之；

（2）若存在實數，，使得函數在區間上的值域為，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）求出的定義域，判斷的單調性，再利用單調性的定義證明即可.

（2）由（1）知，為偶函數，進而對，討論即可.

（1）由，得，所以的定義域為，

在區間上為增函數，在區間上為減函數，

證明如下：

任取，則

∵，

∴，即

故，所以在區間上為減函數，

同理可證，在區間上為增函數.

綜上所述：在區間上為增函數，在區間上為減函數.

（2）由（1）知為偶函數，且在區間上為增函數，

若存在，使得函數在區間上的值域為，即，

則方程，即在區間上有兩個不同的根，

設，必有，解得，

因為偶函數，則在區間上存在實數，，使得函數在區間上的值域為，則有，

若存在，使得函數在區間上的值域為，

則有，或，

所以，則，

若或，則或，

即方程有兩個根，，其中，

因，其對稱軸為，故不存在實數，滿足題意，

綜上所述：實數的取值范圍為.