Question

【題目】設點O為坐標原點，橢圓的右頂點為A，上頂點為B，過點O且斜率為的直線與直線AB相交M，且．

（Ⅰ）求證：a＝2b；

（Ⅱ）PQ是圓C：（x－2）2＋（y－1）2＝5的一條直徑，若橢圓E經過P，Q兩點，求橢圓E的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．

【解析】試題分析：

(1)利用向量共線的充要條件計算可得a＝2b；

(2)利用(1)中的結論聯立直線與橢圓的方程，利用根與系數的關系計算可得橢圓E的方程是．

試題解析：

（Ⅰ）∵A（a，0），B（0，b），，所以，

∴，解得a＝2b，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a＝2b，∴橢圓E的方程為即x2＋4y2＝4b2（1）

依題意，圓心C（2，1）是線段PQ的中點，且．

由對稱性可知，PQ與x軸不垂直，設其直線方程為y＝k（x－2）＋1，

代入（1）得：

（1＋4k2）x2－8k（2k－1）x＋4（2k－1）2－4b2＝0

設P（x1，y1），Q（x2，y2），則，，

由得，解得．

從而x1x2＝8－2b2．

于是

解得b2＝4，a2＝16，∴橢圓E的方程為．