Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)處取得極值時(shí)，若關(guān)于的方程上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）求證：當(dāng)時(shí)，有

Answer 1

（1）增區(qū)間：，減區(qū)間：； （2） 
（3）見(jiàn)解析。

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值問(wèn)題以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問(wèn)題的綜合運(yùn)用。
（1）分析定義域，然后求導(dǎo)，然后對(duì)于導(dǎo)數(shù)大于零或者小于零作出討論，得到單調(diào)區(qū)間。
（2）因?yàn)楫?dāng)處取得極值時(shí)，若關(guān)于的方程上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合函數(shù)圖像來(lái)得到不等式。
（3）由（1）、（2）可得，當(dāng)為增函數(shù)
，然后放縮法得到證明。
（1）
增區(qū)間：    減區(qū)間：……………………3分
（2）   
令
為增函數(shù)，為減函數(shù)，為增函數(shù)……………………5分
則…………………………………………………7分
（3）由（1）、（2）可得，當(dāng)為增函數(shù)
…………………………………………10分
令………………………………12分
則
………………13分


………………………………………………14分