Question

（本小題滿分12分）設函數．
（Ⅰ）若函數在定義域上是單調函數，求的取值范圍；
（Ⅱ）若，證明對于任意的，不等式．

Answer 1

（I）當時，在上為單調函數.
（II）見解析。

本試題主要是運用導數研究函數 單調性和證明不等式的運用。
（1）因為
要使在上為單調函數只須在上或恒成立，
轉化為恒成立思想求解。
（2）因為時，
設
，結合導數判定結論。
（I）解：
要使在上為單調函數只須在上或恒成立，
若，則，在上有最大值 ∴只須則
若，則，在上，無最小值故滿足的b不存在.
由上得出當時，在上為單調函數.
（II）時，
設

當時    ∴函數在上為減函數
    ∴當時，，即
   ∴，∴
∴