Question

如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別
為，其上頂點(diǎn)為已知是邊長為的正三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)任作一動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，記．若在線段上取一點(diǎn)，使得，當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在某一定直線上運(yùn)動(dòng)，求出該定直線的方程．

Answer 1

（1）橢圓的方程為；（2）定直線的方程為.

解析試題分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/06/4/162wt4.png" style="vertical-align:middle;" />是邊長為2的正三角形，所以，橢圓的方程為；（2）設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，表示出；
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為則由，解得， 故點(diǎn)在定直線上.
試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/06/4/162wt4.png" style="vertical-align:middle;" />是邊長為2的正三角形，所以，所以，橢圓的方程為
（Ⅱ）由題意知，直線的斜率必存在，設(shè)其方程為.并設(shè)
由消去得
則 
由得故
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為則由得
解得: 
故點(diǎn)在定直線上.
考點(diǎn)：橢圓的性質(zhì)、設(shè)而不求思想、定直線問題.