Question

【題目】已知函數f（x）=cosxsin（x+）﹣cos2x+，x∈R．

（1）求f（x）的單調遞增區間；

（2）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別a，b，c，若f（A）=，a=，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1) [kπ﹣，kπ+]，k∈Z (2)

【解析】試題分析：（I）由兩角和與差的正弦公式，二倍角的正弦公式與二倍角的余弦公式可將解析式化簡為，由，可得的單調遞增區間；（II）由題意可得，結合范圍，解得的值，由余弦定理可得結合基本不等式可得，利用三角形面積公式即可得結果.

試題解析：（1）∵f（x）=cosxsin（x+）﹣cos2x+

=cosx（sinx+cosx）﹣cos2x+

=sinxcosx+cos2x﹣cos2x+

=sin2x﹣×+

=sin（2x﹣），

由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得f（x）的單調遞增區間為：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．

（2）∵f（A）=sin（2A﹣）=，解得：sin（2A﹣）=，

∵0，﹣＜2A﹣＜，

∴解得：2A﹣=，即A=．

∴由余弦定理可得：3=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，

∴S△ABC=bcsinA=bc≤=．