Question

19、已知：命題“若函數f（x）=e^x-mx在（0，+∞）上是增函數，則m≤1，則
①否命題是“若函數f（x）=e^x-mx在（0，+∞）上是減函數，則m＞1，”，是真命題；
②逆命題是“若m≤1，則函數f（x）=e^x-mx在（0，+∞）上是增函數”，是假命題；
③逆否命題是“若m＞1，則函數在f（x）=e^x-mx（0，+∞）上是減函數”，是真命題；
④逆否命題是“若m＞1，則函數f（x）=e^x-mx在（0，+∞）上不是增函數”，是真命題．
其中正確結論的序號是

④

．（填上所有正確結論的序號）

Answer 1

分析：先分別判斷原命題的真假，再結合四種命題的關系和各命題的形式進行判斷．

解答：解：“若函數f（x）=e^x-mx在（0，+∞）上是增函數，則f'（x）=e^x-m≥0在（0，+∞）上恒成立，
即m≤e^x在（0，+∞）上恒成立，故m≤1．則原命題正確．
①原命題的否命題是“若函數f（x）=e^x-mx在（0，+∞）上不是減函數，則m＞1”，因為“增函數”的否定不是“減函數”，所以①錯誤．
②逆命題是“若m≤1，則函數f（x）=e^x-mx在（0，+∞）上是增函數”．當m≤1，則f'（x）=e^x-m＞0在（0，+∞）恒成立，故逆命題正確．所以②錯誤．
③逆否命題是“若m＞1，則函數在f（x）=e^x-mx（0，+∞）上不是減函數”，所以③錯誤．
④逆否命題是“若m＞1，則函數f（x）=e^x-mx在（0，+∞）上不是增函數”，因為原命題和逆否命題為等價命題，所以④為真命題，所以④正確．
故只有有④正確．
故答案為：④．

點評：本題主要考查命題的四種形式以及四種命題之間的關系，是基礎題型．