Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的焦距為2，且過點P（1， ）
（1）橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的左右焦點分別為F1 ， F2 ， 過點F2的直線l與橢圓C交于M，N兩點．
①當直線l的傾斜角為45°時，求|MN|的長；
②求△MF1N的內切圓的面積的最大值，并求出當△MF1N的內切圓的面積取最大值時直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知，得a2﹣b2=c2=1，且 ，

解得：a2=4，b2=3．

故橢圓C的方程為 ；

（2）解：①直線l的方程為y=x﹣1，

聯立 ，消去x得，7x2﹣8x﹣8=0．

設M（x1，y1），N（x2，y2），

則 ．

∴|MN|=

= ；

②設直線l的方程為：x=my+1，由 ，得

（3m2+4）y2+6my﹣9=0．

△=（6m）2+36（3m2+4）=144m2+144＞0．

．

設△MF1N的內切圓半徑為r，由 可知，

當 最大時，r也最大，△MF1N的內切圓面積也最大．

由 = ．

令t= ，則t≥1，且m2=t2﹣1，則 ．

令f（t）= ，

則 ，從而f（t）在區間[1，+∞）上單調遞增，

故有f（t）≥f（1）=4．

∴ ．

即當t=1，m=0時， 有最大值3，即 ．

這時△MF1N的內切圓面積的最大值為 ，直線l的方程為x=1．

【解析】（1）由橢圓的焦距2c=1結合隱含條件得關于a，b的一個方程，再由橢圓過點P（1， ）得另一方程，聯立方程組求得a，b的值，則橢圓方程可求；（2）①寫出直線l的方程和橢圓方程聯立后由弦長公式求得|MN|的長；②設出直線l的方程x=my+1，和橢圓方程聯立，得到當 最大時，r也最大，△MF1N的內切圓面積也最大，利用根與系數關系把△MF1N的面積轉化為含有m的代數式，換元后利用導數判斷其單調性，由函數單調性求得最值并得到直線l的方程．