Question

【題目】設偶函數f（x）（x∈R）的導函數是函數f′（x），f（2）=0，當x＜0時，xf′（x）﹣f（x）＞0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
B.（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C.（﹣2，0）∪（2，+∞）
D.（0，2）∪（﹣2，0）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：令g（x）= ，
∴g′（x）= ，
∵x＜0時，xf′（x）﹣f（x）＞0，
∴x＜0時，g′（x）＞0，
∴g（x）在（﹣∞，0）上是增函數，
∵f（x）是偶函數，∴f（﹣x）=f（x），
∴g（﹣x）= =﹣ =﹣g（x），
∴g（x）是奇函數，
∴g（x）在（0，+∞）上是增函數，
∵f（2）=0，∴g（2）= =0，
∴g（﹣2）=﹣g（2）=0，
如圖示：

當x＞0，f（x）＞0，
即g（x）＞0=g（2），解得：x＞2，
當x＜0時，f（x）＜0，
即g（x）＜g（﹣2）=0，解得：x＜﹣2
故不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
故選：B．
構造函數g（x）= ，利用導數得到，g（x）在（﹣∞，0）是增函數，再根據f（x）為偶函數，得到g（x）是奇函數，在（0，+∞）遞增，從而求出f（x）＞0的解集即可．