Question

某政府設有一個服務窗口，假設顧客辦理業務所需的時間互相獨立，且都是整數分鐘，對以往顧客辦理業務所需的時間統計結果如下：

辦理業務所需的時間（分鐘）	1	2	3
頻率	0.2	0.4	0.1

從第一個顧客開始辦理業務時計時．
（1）估計第三個顧客恰好等待5分鐘開始辦理業務的概率；
（2）X表示到第2分鐘末已辦理完業務的顧客人數，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（1）設Y表示顧客辦理業務所需的時間，用頻率估計概率，可得Y的分布列，A表示事件“第三個顧客恰好等待5分鐘開始辦理業務”，則時間A對應三種情形：①第一個顧客辦理業務所需時間為2分鐘，且第二個顧客辦理業務所需的時間為3分鐘；②第一個顧客辦理業務所需的時間為3分鐘，且第二個顧客辦理業務所需的時間為2分鐘，由此可求概率；
（2）確定X所有可能的取值，求出相應的概率，即可得到X的分布列及數學期望．

解答：解：（1）設Y表示顧客辦理業務所需的時間，用頻率估計概率，得Y的分布如下：

y	1	2	3
p	0.2	0.4	0.4

A表示事件“第三個顧客恰好等待5分鐘開始辦理業務”，則事件A對應兩種情形：
①第一個顧客辦理業務所需時間為2分鐘，且第二個顧客辦理業務所需的時間為3分鐘；
②第一個顧客辦理業務所需的時間為3分鐘，且第二個顧客辦理業務所需的時間為2分鐘．
所以 P（A）=0.4×0.4+0.4×0.4=0.32．
（2）X所有可能的取值為：0，1，2．
X=0對應第一個顧客辦理業務所需的時間超過2分鐘，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.4；
X=1對應第一個顧客辦理業務所需的時間為1分鐘且第二個顧客辦理業務所需時間超過1分鐘，或第一個顧客辦理業務所需的時間為2分鐘，所以P（X=1）=0.2×0.8+0.4=0.56；
X=2對應兩個顧客辦理業務所需的時間均為1分鐘，所以P（X=2）=0.2×0.2=0.04．
所以X的分布列為：

X	0	1	2
P	0.4	0.56	0.04

EX=0×0.4+1×0.56+2×0.04=0.64．

點評：本題考查概率的求解，考查離散型隨機變量的分布列與期望，解題的關鍵是明確變量的取值與含義．