Question

【題目】為了調(diào)查學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的質(zhì)量情況，某校從高二年級學(xué)生（其中男生與女生的人數(shù)之比為）中，采用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生依期中考試的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計.根據(jù)數(shù)學(xué)的分?jǐn)?shù)取得了這名同學(xué)的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組：

①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧

得到頻率分布直方圖如圖所示.已知抽取的學(xué)生中數(shù)學(xué)成績少于分的人數(shù)為人.

（1）求的值及頻率分布直方圖中第④組矩形條的高度；

（2）如果把“學(xué)生數(shù)學(xué)成績不低于分”作為是否達(dá)標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)，對抽取的名學(xué)生，完成下列列聯(lián)表：

據(jù)此資料，你是否認(rèn)為“學(xué)生性別”與“數(shù)學(xué)成績達(dá)標(biāo)與否”有關(guān)？

（3）若從該校的高二年級學(xué)生中隨機(jī)抽取人，記這人中成績不低于分的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差

附1：“列聯(lián)表”的卡方統(tǒng)計量公式：

附2：卡方（）統(tǒng)計量的概率分布表：

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）見解析;（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)小長方形面積等于對應(yīng)區(qū)間概率以及頻率等于頻數(shù)除以總數(shù)列等式解得，根據(jù)高度等于頻率除以組距計算.（2）根據(jù)分層抽樣確定男女生人數(shù)，列列聯(lián)表，根據(jù)卡方公式計算，再對照參考數(shù)據(jù)確定把握性，（3）可視為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，先計算頻率代替概率，再利用二項(xiàng)分布求分布列及數(shù)學(xué)期望、方差.

試題解析：（1）“成績少于分”的頻率

④的高度

（2）按照“男生”和“女生”分層抽樣

在容量為的樣本中，“男生”人數(shù)，“女生”人數(shù)

“達(dá)標(biāo)”即“成績不低于分”的頻數(shù)

據(jù)此可填表如下：

據(jù)表可得卡方統(tǒng)計量

故有不足的把握認(rèn)為“學(xué)生性別”與“數(shù)學(xué)成績達(dá)標(biāo)與否”有關(guān)

可以認(rèn)為它們之間沒有關(guān)聯(lián)

（3）“成績不低于分”的頻率

因高二年級的學(xué)生數(shù)遠(yuǎn)超過樣本容量,故從該年級抽取任意人的概率都可認(rèn)為是

從而

則，

，

故的分布列為：

數(shù)學(xué)期望

方差