Question

【題目】已知函數f（x）=ln（1+x）﹣x，g（x）=xlnx．
（1）求函數f（x）的最大值；
（2）設0＜a＜b，證明0＜g（a）+g（b）﹣2g（ ）＜（b﹣a）ln2．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）的定義域為（﹣1，+∞）．

．令f′（x）=0，解得x=0．

當﹣1＜x＜0時，f′（x）＞0，當x＞0時，f′（x）＜0．又f（0）=0，

故當且僅當x=0時，f（x）取得最大值，最大值為0．

（2）證明：

= ．

由（Ⅰ）結論知ln（1+x）﹣x＜0（x＞﹣1，且x≠0），

由題設 ，

因此ln =﹣ln（1+ ）＞﹣ ，

，

所以 ．

又 ，

＜ ．=（b﹣a）ln ＜（b﹣a）ln2

綜上

【解析】（1）先求出函數的定義域，然后對函數進行求導運算，令導函數等于0求出x的值，再判斷函數的單調性，進而可求出最大值．（2）先將a，b代入函數g（x）得到g（a）+g（b）﹣2g（ ）的表達式后進行整理，根據（1）可得到lnx＜x，將 、 放縮變形為 、 代入即可得到左邊不等式成立，再用 根據y=lnx的單調性進行放縮 ＜ ．然后整理即可證明不等式右邊成立．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．