Question

【題目】如圖所示，已知長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的點，且BE⊥B1C．

（1）求CE的長；
（2）求證：A1C⊥平面BED；
（3）求A1B與平面BDE夾角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示，以D為原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系D﹣xyz．

∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），

B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）．

設E點坐標為（0，2，t），則 =（﹣2，0，t）， =（﹣2，0，﹣4）．

∵BE⊥B1C，∴ =4+0﹣4t=0．

∴t=1，故CE=1

（2）證明：由（1）得，E（0，2，1）， =（﹣2，0，1），

又 =（﹣2，2，﹣4）， =（2，2，0）

∴ =4+0﹣4=0，且 =﹣4+4+0=0．

∴ ⊥ 且 ⊥ ，即A1C⊥DB，A1C⊥BE，

又∵DB∩BE=B，∴A1C⊥平面BDE，即A1C⊥平面BED

（3）解：由（2）知 =（﹣2，2，﹣4）是平面BDE的一個法向量．

又 =（0，2，﹣4），

∴cos＜ ， ＞= = ．

∴A1B與平面BDE夾角的正弦值為 ．

【解析】（1）建立空間直角坐標系，求出 、 ，利用 =0，即可求得結論；（2）證明 ⊥ 且 ⊥ ，可得A1C⊥DB，A1C⊥BE，從而可得A1C⊥平面BED；（3）由（2）知 =（﹣2，2，﹣4）是平面BDE的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求A1B與平面BDE夾角的正弦值．
【考點精析】利用直線與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．