Question

已知三棱錐S—ABC的底面是正三角形，A點在側面SBC上的射影H是△SBC的垂心.

(1)求證：BC⊥SA
(2)若S在底面ABC內的射影為O，證明：O為底面△ABC的中心；
(3)若二面角H—AB—C的平面角等于30°，SA=，求三棱錐S—ABC的體積.

Answer 1

(1)先證明 (2) 先證O為底面△ABC的垂心 (3)

試題分析：證明：(1) AH⊥面SBC，BC在面SBC內   ∴AH⊥BC
 

,同理,因此O為底面△ABC的垂心，而三棱錐S—ABC的底面是正三角形，故O為底面△ABC的中心

 (3)由（1）有SA=SB=SC=，設CO交AB于F，則CF⊥AB， CF是EF在面ABC內的射影，

EF⊥AB，
∠EFC為二面角H—AB—C的平面角，∠EFC=30°，∠ECF=60°，
OC=，SO=3，AB=3，
  
點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查三角形中心的證明，考查三棱錐體積的求法，解題時要認真審題，仔細解答，合理地化空間問題為平面問題．