Question

如圖，已知四邊形為梯形，， ，四邊形為矩形，且平面平面，，點為的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）求三棱錐的體積．

Answer 1

【命題意圖】本題考查線面位置關系的證明、多面體體積的計算，考查空間想象能力．中等題．

解：（Ⅰ）取中點，連．∵為對角線的中點，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，即∥．又∵平面，平面，∴∥平面．…………………………………4分

 （Ⅱ）∵四邊形為矩形，且平面平面，∴平面，∴；∵四邊形為梯形，，且，∴．又在中，，且，∴，，∴．于是在中，由，，及余弦定理，得．∴，∴．∴平面，又∵平面，∴平面平面．……………………9分

（Ⅲ）作，垂足為，由平面平面得平面．易求得，所以三棱錐的體積．……13分