Question

【題目】已知橢圓E： =1（a＞b＞0）的上、下焦點分別為F1 ， F2 ， 點D在橢圓上，DF2⊥F1F2 ， △F1F2D的面積為2 ，離心率e= ，拋物線C：x2=2py（p＞0）的準線l經過D點．
（1）求橢圓E與拋物線C的方程；
（2）過直線l上的動點P作拋物線的兩條切線，切點為A，B，直線AB交橢圓于M，N兩點，當坐標原點O落在以MN為直徑的圓外時，求點P的橫坐標t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得F1（0，c），F2（0，﹣c），

c2=a2﹣b2，DF2⊥F1F2，令x=c，可得y=± ，

可得|DF2|= ，

△F1F2D的面積為S= |F1F2||DF2|= 2c =2 ，①

將e= 代入①解得b=2，

由e= ，可得e2=1﹣ = ，可得a=2 ，c=2，

即有橢圓E的方程為 =1；

由D的縱坐標為﹣2，拋物線的準線方程為y=﹣2，

即有拋物線C的方程為x2=8y；

（2）解：設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），

由y= x2，可得y′= x，

PA：y﹣y1= x1（x﹣x1），將P（t，﹣2）代入可得﹣2﹣y1= x1（t﹣x1），

以及y1= x12，可得y1= tx1+2，

同理可得y2= tx2+2，

即有直線AB的方程為y= tx+2，

將直線AB的方程代入橢圓方程，可得（32+t2）x2+16tx﹣64=0，

判別式為△=256t2+256（32+t2）＞0，

x3+x4=﹣ ，x3x4= ，

即有 =x3x4+y3y4=（1+ ）x3x4+ （x3+x4）+4

= = ﹣8，

由點O在圓外，可得 ＞0，

即為 ﹣8＞0，解得﹣2 ＜t＜2 ．

【解析】（1）求得焦點的坐標，及|DF2|= ，運用三角形的面積公式和離心率公式，可得a，b，進而得到橢圓的方程；求得拋物線的準線方程，可得拋物線的方程；（2）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（x3 ， y3），N（x4 ， y4），求得函數的導數，求出切線PA，PB的方程，進而得到直線AB的方程，代入橢圓方程，運用韋達定理，再由向量的數量積的坐標表示和點在圓外，可得數量積大于0，解不等式即可得到所求范圍．